統計学入門 その1 (得点分布）

今までの得点データを眺めていてちょっと疑問に思ったことがあったので、整理してみました。

約10,000本の30ｍ-80ｃｍ的の行射データがあり、1本の平均は8.4点、σは1.2、36本の行射の合計は平均303点です。

このデータを、的の点数を横軸に、縦軸に点数ごとの得点を棒グラフしてみました。（10,000本の平均値です）

このグラフに、平均8.4点、σ1.2の正規分布のラインを加えてみましたが、全く一致しません。

多くのサンプルデータがあれば、その分布は正規分となるはずですが、なぜでしょうか。

理由は、正規分布は1次元データの分布を表しますが、アーチェリーの的は同心円の帯のどこに当たるかかで得点が変るため、2次元データで処理する必要があります。

帯の面積は的点（得点）が上がるに従い狭くなり、当たる確率も低くなるよういなっています。

アーチェリーは、的の中心を狙って得点を争う競技ですから、多くのサンプルデータがあれば、的の中心付近に矢が密集しますが、高得点はその面積が狭いため当てるのが難しくなり、300点クラスのアーチャーでは、10点は9点（面積は、10点の3倍）に比べ少なくなります。

そこで、極座標（円盤上のデータを扱う座標で、的点を的の中心からの半径に変換）上に正規分布を表示するように変換し、分布を記入してみました。

平均半径は的の中心で半径0としています、グルーピングの中心は的の中心になる（はずです）。

この分布は、図に示す通り実際の得点分布と非常によく一致し、アーチェリーの得点は、自然の分布法則に従っていてることになります。

アーチャーが技量を磨き、標準偏差σ（矢のグルーピングの大きさを計る尺度）を小さくすることで、矢は10点内に密集し高得点が期待できます。

グルーピングの径を如何に小さくするかが、練習の最大課題となります。
実際、σ＝0.8にすると、330点が期待できます。

次は、この分布を使って、30ｍのデータから50ｍ、70ｍ、18ｍの得点分布を推計する方法や、18ｍの矢の太さを9ｍｍにするとどれだけ点数アップするかなどを検討してみます。

注）
ここで記載したσは、1次元の分布の標準偏差σ（スコアーカード得点のばらつき）を使っています。
このσを極座標のσr（的の中心からの距離のバラつき）に変換するには、σr＝√2ｘσの関係を利用します。